Logique

Tronc Commun Mines Saint-Étienne

Les systèmes formels permettent de formaliser la notion de preuve
Pour qu’un ensemble de calcul soit une preuve, il ne suffit pas que la conclusion découle logiquement des hypothèses
Une preuve comprend des étapes qui se déduisent d’étapes précédentes en 
- utilisant des axiomes (formules supposées vraies sans démontration)
- utilisant des règles de déduction qui génèrent de nouvelles formules à partir de formules déjà construites

Un système formel est défini par un tuple 〈𝓥, 𝓔, 𝓐, 𝓡〉, tel que :

𝓥 est un ensemble de symboles
𝓔 est un ensemble d’expressions bien formées dans 𝓥*
𝓐 est un ensemble d’axiomes (𝓐 ⊂ 𝓔)
𝓡 est un ensemble de règles de déduction de la forme :
r_i : f₁, f₂, …, f₂ ⊢ g avec f_i, g ∈ 𝓔

Un système formel peut n’être construit que sur un sous-ensemble des formules logiques
Les axiomes ne sont pas forcément des formules tautologiques
Les règles de déduction ne correspondent pas forcément à des conséquences logiques

Soit un système formel SF, on appelle déduction (ou preuve) de c_p à partir de h₁, h₂, …, h_n dans SF, et on note :

h₁, h₂, …, h_n ⊢ c_p

toute suite c₁, c₂, …, c_p telle que pour i = 1, …, p

ou bien c_i est un axiome (c_i ∈ 𝓐)
ou bien c_i est une des hypothèses (h_k)
ou bien c_i peut être obtenue par application d’une règle r_i telle que
c_i₁, c_i₂, …, c_{i_k} ⊢ c_i avec i₁, …, i_k < i

Une formule t est un théorème de SF et on note ⊢ t si t peut être déduit sans hypothèse.

On relie la notion de système formel à la notion de conséquence logique grâce aux propriétés suivantes :

Un système formel est correct ssi tous ses théorèmes sont des tautologies.
Formellement, si ⊢ t alors ⊨ t
Un système formel est complet ssi toutes les tautologies sont des théorèmes.
Formellement, si ⊨ t alors ⊢ t

Soit SF₀ le système formel suivant (où A, B et C désignent des variables pouvant être remplacées par toute expression de 𝓛₀) :

𝓥 = {a, b, c, …, ¬, →, (, )}
𝓔 est l’ensemble d’expressions bien formées dans 𝓥*
𝓐 = {A₁, A₂, A₃} avec :
- A₁ : (A → (B → A))
- A₂ : ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)))
- A₃ : ((¬A → ¬B) → (B → A))
𝓡 = {R_MP} contient une unique règle (le modus ponens) :
- R_MP : A, (A → B) ⊢ B

En réalité, les axiomes A₁, A₂ et A₃ sont des ensembles infinis d’axiomes comprenant toutes les manières de remplacer A, B et C par des formules bien formées.
Le système SF₀ est correct, donc si ⊢ t alors ⊨ t
Tel quel, SF₀ n’est pas complet car il ne comprend aucune règle ou axiome contenant ∧, ∨, ↔
Si l’on ajoute les règles :
- R_∧ : (A ∧ B) ⊢ ¬(A → ¬B)
- R_∨ : (A ∨ B) ⊢ (¬A → B)
- R_↔ : (A ↔ B) ⊢ (A → B) ∧ (B → A)
alors le système SF₀ est complet, donc si ⊨ t alors ⊢ t

Montrons que ⊢ a → a.

Théorème: Pour tout φ₁, …, φ_n, ψ ∈ 𝓛₀ :
φ₁, …, φ_n–1 ⊢ (φ_n → ψ) ssi φ₁, …, φ_n ⊢ ψ