Logique

Logique du premier ordre : syntaxe (1/3)

• Les symboles du langage 𝓥 comprennent :
  • un ensemble de variables 𝓥ar = {x, y, z, …}
  • un ensemble de fonctions 𝓕onc = {f, g, h, …}
  • un ensemble de prédicats 𝓟red = {P, Q, R, …}
  • un ensemble de constantes 𝓒onst = {c₁, c₂, …}
  • un ensemble d’opérateurs logique 𝓒onnect = {∧, ∨, →, ↔, ¬}
  • les quantificateurs 𝓠uant = {∀, ∃}
  • les parenthèses (ouvrante et fermante)

Logique du premier ordre : syntaxe (2/3)

Chaque symbole de fonction de 𝓕onc ou de prédicat de 𝓟red a une arité qui détermine le nombre d’arguments ou d’objets auxquels il est appliqué. Par exemple, le prédicat H pour “est un homme” a une arité d’un (on dit qu’il est unaire), tandis que le prédicat P pour “est le père de” a une arité de deux (on dit qu’il est binaire).

Nous construisons alors l’ensemble des termes 𝓣 comme suit :

• si c ∈ 𝓒onst, alors c ∈ 𝓣 ;
• si x ∈ 𝓥ar alors x ∈ 𝓣 ;
• si t₁, …, t_n ∈ 𝓣 et f ∈ 𝓕onc d’arité n alors f(t₁, …, t_n) ∈ 𝓣 ;

Logique du premier ordre : syntaxe (3/3)

Une expression est une formule bien formée (fbf) si elle peut être formée ainsi :

• si t₁, …, t_n ∈ 𝓣, P ∈ 𝓟red d’arité n alors P(t₁, …, t_n) est une fbf
• si φ est une fbf, alors ¬φ est une fbf
• si φ et ψ sont des fbf, alors (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ) et (φ ↔ ψ) sont des fbf
• si φ est une fbf et x ∈ 𝓥ar alors ∀x φ et ∃x φ sont des fbf

Interprétation

Interprétation en logique des prédicats

On définit une interprétation I par un ensemble non vide Ω_I appelé univers (ou domaine) de l’interprétation, tel que :

• pour chaque symbole de constante c, I[c] = c_I ∈ Ω_I
• pour chaque symbole de fonction n-aire f, I[f] : Ω_Iⁿ ⟶ Ω_I
• pour chaque symbole de prédicat m-aire P, I[P] : Ω_I^m ⟶ {⊥,⊤}

Valuation

Valuation

Une valuation ν : 𝓥ar ⟶ Ω_I est une application de l’ensemble des variables dans Ω_I.

On notera alors I_ν[φ] pour indiquer la valeur de vérité de φ vis-à-vis de l’interprétation I et de la valuation ν. Nous définissons cela inductivement.

Interprétation des termes

Étant donnée une valuation ν, on étend l’interprétation des symboles à l’interprétation des termes de la façon suivante :

• si x est une variable, alors I_ν[x] = ν(x) ;
• si c est un symbole de constante (resp., f un symbole de fonction, P un symbole de prédicat), alors I_ν[c] = I[c] (resp., I_ν[f] = I[f], I_ν[P] = I[P]) ;
• si I_ν[t₁], …, I_ν[t_n] sont des interprétations de termes, alors I_ν[f(t₁, …, t_n)] = I[f](I_ν[t₁], …, I_ν[t_n]).

Satisfaction

Une formule φ est satisfaite par une interprétation I vis-à-vis d’une valuation ν ssi I[φ] = ⊤ tel que  :

• si φ = P(t₁, …, t_n) alors I_ν[φ] = ⊤ ssi I[P](I_ν[t₁], …, I_ν[t_n]) = ⊤ ;
• si φ = ¬ψ alors I_ν[φ] = ⊤ ssi I_ν[ψ] = ⊥ ;
• si φ = (φ ∧ ψ) alors I_ν[φ] = ⊤ ssi I_ν[φ] = I_ν[ψ] = ⊤ ;
• si φ = (φ ∨ ψ) alors I_ν[φ] = ⊤ ssi I_ν[φ] = ⊤ ou I_ν[ψ] = ⊤ ;
• si φ = (φ → ψ) alors I_ν[φ] = ⊤ ssi I_ν[φ] = ⊥ ou I_ν[ψ] = ⊤ ;
• si φ = (φ ↔ ψ) alors I_ν[φ] = ⊤ ssi I_ν[φ] = I_ν[ψ].

Interprétation des quantificateurs

• si φ = (∃x ψ), alors I_ν[φ] = ⊤ ssi il existe dans Ω_I un élément e tel que, si on affecte e à la variable x dans la formule ψ, c’est-à-dire, on utilise une valuation η identique à ν sauf pour la variable x, alors I_η[ψ] = ⊤.
• si φ = (∀x ψ), alors I_ν[φ] = ⊤ ssi pour tout les éléments e de Ω_I, si on affecte e à la variable x dans la formule ψ, (on utilise une valuation η), alors I_η[ψ] = ⊤.

Définitions

• Une tautologie est une formule qui est satisfaite par toute interprétation.
• Une contradiction est une formule qui n’est satisfaite par aucune interprétation.
• Une formule est satisfiable s’il existe une interprétation qui la satisfait.
• Une formule φ est conséquence logique d’une formule ψ si toutes les interprétations qui satisfont ψ satisfont aussi φ.
• Une formule φ est logiquement équivalente à une formule ψ ssi φ est conséquence logique de ψ et ψ est conséquence logique de φ.

Système formel pour la logique du premier ordre

Système formel pour 𝓛₁

Soit SF₁ le système formel suivant (où A(.), B, C peuvent être remplacées par toute expression de 𝓛₁) :

• 𝓥 = 𝓥ar ⋃ 𝓕onc ⋃ 𝓟red ⋃ 𝓒onst ⋃ 𝓒onnect ⋃ 𝓠uant ⋃ {(, )}
• 𝓔 est l’ensemble d’expressions bien formées dans 𝓥*
• 𝓐 = {A₁, A₂, A₃} ⋃ {A₄, A₅} avec A₁, A₂ et A₃ identiques à SF₀ et :
  • A₄ : ((∀x A(x)) → A(t)) avec t terme libre pour x
  • A₅ : ((B → C) → (B → ∀x C))
• 𝓡 = {R_MP, R_G} avec :
  • R_MP : B, (B → C) ⊢ C(modus ponens)
  • R_G : B → ∀x B(généralisation)

Méthode des tableaux

Les règles comprennent celles de la logique propositionnelle et celles-ci :

Méthode des tableaux