Logique

Principe de résolution

• Méthode permettant de vérifier si une formule est satisfiable
• Plus souvent utiliser pour prouver une contradiction (et donc prouver une conséquence logique, par l’équivalence entre « ψ est conséquence logique de φ » et « φ ∧ ¬ψ est une contradiction »
• Généralement plus efficace et plus facile à implémenter que la méthode des tableaux
• Le principe proprement dit ne s’applique que sur des formules normalisées (phase de prétraitement nécessaire)

Normalisation : mise sous forme prénexe

Forme prénexe

φ ∈ 𝓛₁ est sous forme prénexe ssi elle peut s’écrire :

• φ = ▯¹x₁▯²x₂…▯ⁿx_nψ

avec ▯ⁱ ∈ {∀, ∃}, x_i ∈ 𝓥ar et ψ ne contenant pas de quantificateurs.

Théorème

Pour tout φ ∈ 𝓛₁, il existe φ_p sous forme prénexe telle que φ ≡ φ_p.

Forme prénexe : exemples

Dans la pratique, la forme prénexe peut être obtenue en déplaçant vers la gauche les quantificateurs en respectant quelques contraintes : si une même variable est concernée par plusieurs quantificateurs, un renommage des variables est nécessaire, si une expression correspond à la partie gauche d’un connecteur →, le(s) quantificateur(s) correspondant(s) change(nt). Aussi, la négation d’un quantificateur devient le quantificateur dual suivi de la négation de ce qui suit.

Normalisation : skolémisation

Forme de Skolem

φ ∈ 𝓛₁ est sous forme de Skolem ssi elle est sous forme prénexe et ne contient pas de quantificateur existentiel.

Théorème

Il existe une fonction sk : 𝓛₁ ⟶ 𝓛₁ telle que pour tout φ ∈ 𝓛₁, sk(φ) sous forme de Skolem et φ est satisfiable ssi sk(φ) l’est aussi et sk(φ) ⊨ φ.

Skolémisation : exemples

Concrètement, la suppression des quantificateurs est assurée par le remplacement de chaque variable x quantifiée existentiellement par une expression fonctionnelle (fonction de Skolem) ayant pour arguments les variables précédant x et quantifiées universellement.

Normalisation : forme normale conjonctive

Si on sait qu’une formule est sous forme de Skolem, on sait que toutes les variables sont quantifiées universellement, donc on peut retirer tous les quantificateurs.

Forme normale conjonctive

Une formule φ ∈ 𝓛₁ sans quantificateur est sous forme normale conjonctive ssi il existe des littéraux L_1,1, L_1,2, …, L_1,n1, L_2,1, L_2,2, …, L_2,n2, …, L_p,1, …, L_p,np tels que φ = (L_1,1 ∨ L_1,2 ∨ … ∨ L_1,n1) ∧ (L_2,1 ∨ L_2,2 ∨ … ∨ L_2,n2) ∧ … ∧ (L_p,1 ∨ … ∨ L_p,np)

On convertit une formule sans quantificateur en forme normale conjonctive de la même façon qu’en logique propositionnelle (en utilisant les équivalences de la section 1.2).

Forme clausale

On pourra écrire une formule sous forme normale conjonctive sous forme clausale. Ceci permet d’omettre les connecteurs logiques  ∧  et  ∨  :

avec L_ij = atome ou ¬atome.

Résolution : formules unifiables

Formules unifiables

Deux formules atomiques sont unifiables s’il existe une substitution des variables par des termes qui rend les deux formules identiques. On note [x ↦ y] la substitution de x par y.

La notion d’unification en logique des prédicats correspond à l’égalité en logique des propositions.

Résolution

Résolution

Soit la formule φ ∈ 𝓛₁. Elle peut être décrite par un ensemble de clauses 𝓒 :

𝓒 =

	⋮
(Ci)	A	B
	⋮
(Cj)	¬A'	C
	⋮

avec A et A' unifiables.

La règle qui consiste à déduire la clause résolvante (B ∨ C) à partir des clauses (C_i) et (C_j) s’appelle la règle (ou principe) de résolution.

Résolution : méthode complète

1. Transformer le problème en la réfutation d’une formule
2. Mettre sous forme prénexe
3. Mettre sous forme de Skolem
4. Mettre sous forme normale conjonctive
5. Mettre sous forme clausale
6. Appliquer la résolution jusqu’à réfutation, c’est-à-dire :

Déduction par résolution

Soit C₁, C₂, …, C_n un ensemble de clauses à réfuter. On appellera déduction par résolution toute suite 〈C₁, C₂, …, C_n, f₁, f₂, …, f_p, ◻〉 où f_i est obtenue par résolution de deux clauses appartenant à l’ensemble {C₁, …, C_n, f₁, …, f_i–1}.

Résolution : exemple dans 𝓛₀

Montrer que φ = ((¬p → q) → (¬p → (¬q → p))) est un théorème.

Résolution : exemple dans 𝓛₁

Montrons que H₁ ∧ H₂ → C avec :

• (H₁)∃x∀y (∀x P(x,y) → R(x,y))
• (H₂)∃x∀y P(y,x)
• (C)∃x∃y R(x,y)