C'est le cas ici:
,
On a alors:
Nous resterons dans le cas monovariable, qui peut (facilement?) être étendu au cas multivariable.
Soit un système physique non linéaire représentable par une loi polynomiale: par exemple la conductance G (Xvariable) d'un capteur de gaz en fonction de la concentration en monoxyde de carbone C (Yvariable).
On peut faire une approximation polynomiale de la forme:
G=a*C + b*C2
Cette conductance ne peut évidemment pas être représentée
directement à l'aide d'une régression linéaire.
Mais si on peut mesurer cette conductance à 2 température
différentes et que ces 2 conductances ne sont pas proportionnelles:
C'est le cas ici: ,
On a alors:
est non nul, alors on peut écrire:
Il peut donc bien exister une relation linéaire entre C et (G1, G2). Mais le problème qui était monovariable ne l'est plus!
De plus, il est nécessaire que les lois de C=f(G1)
et C=f(G2) aient des formes différentes.
Si l'on utilise une méthode de décomposition en facteurs,
comme PLS, on voit qu'ici, 2 facteurs seront necessaires.
Dans le cas initialement multivariable et/ou si le degré des polynômes interpolant est plus élevé, le nombre de facteurs, et donc le nombre de Xvariables indépendantes necessaires, devient rapidement important (ex: Polynôme de d° 2 à 2 variables: 5 termes; d°3 à 3 variables: 18 termes).
Dans l'exemple cité ici, on aurait sans doute plutôt avantage
à faire un changement de variable linéarisant du style: 