Rappels (utiles) d'algèbre linéaire

On appelle matrice A un ensemble de m*n scalaires disposés en m colonnes de n nombres

Transposée

Soit à résoudre A = C*X, où X est l'inconnue:
Si C est une matrice carrée, (nombre de lignes = nombre de colonnes), on appelle matrice inverse de C la matrice C-1 telle que:

C-1 n'existe que si les colonnes de C sont linéairement indépendantes.

alors X = C-1*A

Si C est non carrée (n lignes, m colonnes), on peut écrire:

C'*A = C'*C*X

C'C est alors carrée (n * n) et peut-être inversible si ses colonnes sont linéairement indépendantes ce qui impose que n<=m. Si 2 colonnes de C sont colinéaires alors C’C ne sera aussi pas inversible. On peut alors écrire:

X = (C'*C)-1*C'*A
(C'*C)-1*C' est appelé pseudo-inverse de C. C'est aussi un opérateur projecteur.

On appelle vecteur une matrice à une seule colonne.
On appelle vecteur propre d'une matrice C carrée (n * n) un vecteur V tel que:

Les différentes valeurs scalaires r1...rn sont appelés valeurs propres de C. Elles sont uniques alors que le vecteur propre est défini à une constante près. Une condition nécessaire et suffisante pour que C soit inversible ( = non singulière) est que ses valeurs propres soient toutes différentes de 0.

On appelle base C1 un ensemble de n1 vecteurs linéairement indépendants pouvant servir de repère dans un espace de dimension n1. Lorsqu' on change de base C1-->C2 (n2<=n1) , le passage des anciennes coordonnées X1 aux nouvelles coordonnées X2 se fait à l'aide d'une matrice de changement de base M qui est la matrice de projection de X1 sur X2:

X2 = M*X1